MATEMATICAS CICLO VI

EN ESTE ESPACIO VAMOS A APRENDER LOS CONOCIMIENTOS BASICOS DE LAS OPERCIONES DE LOS NUMEROS REALES, EN ESPECIAL EL CALCULO DE LAS FUNCIONES, ALGEBRA, TRIGONOMETRIA, Y VARIOS..... ESPERO PUEDAN APRENDER Y SI TIENEN PREGUNTAS, PS OPINAN ..

FUNCIONES: DOMINIO, RANGO Y GRAFICA

Dominio, Codominio y Rango de una función 

Dominio

El dominio de una función son todos los valores reales que la variable X  puede tomar y la gráfica queda bien definida, es decir que no tiene hoyos o rupturas.

Se pueden expresar esos valores del dominio con notación de conjuntos ó intervalos.

Codominio 

El codominio son  todos los números reales que conforman el conjunto de los valores que puede tomar en determinado momento la variable “y” (los valores que podrían salir).

Rango

Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes.

Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".

La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba. O sea son los valores que tiene la variable “y” para determinados valores de x, en esa función (los valores que realmente salen).

Así que el  rango es un subconjunto del codominio.

Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros (porque tú lo eliges así).

Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enteros pares.

Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares.

Ejemplo. En una escuela hay 10 salones numerados del 1 al 10. Mediante una función le asignamos un salón a cada niño. A Juan le corresponde el Salón 1 y a Pedro el Salón 7. Esa es la función.

El dominio es el conjunto formado por Juan y Pedro: el codominio son los 10 salones. El Rango son sólo los salones que tienen correspondientes; esto es, el Rango es el conjunto formado por los salones 1 y 7.

CÁLCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES 

Vamos a calcular de forma numérica y gráfica el dominio y rango de varias funciones para fijar los conceptos anteriores.

FUNCIONES POLINOMICAS

Las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por cualquier número real que hayamos elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”. 

Son funciones polinómicas : La recta (función lineal o afín), la parábola (función de segundo grado) y los polinomios de grado superior. 

FUNCION LINEAL

EJERCICIO 1: Determinar Dominio y Rango de  f(x) = X + 3 

Lo primero que hacemos es tabular valores de los pares ordenados x,y para representarlos
en el plano cartesiano:

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los punots para obtener la gráfica de nuestra función.

                         

Como podemos ver, la gráfica es una línea recta. Este tipo de función se conoce como lineal y representa a los polinomios de grado 1. 

Dominio de la función

Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales (puede tomar cualquier valor negativo o positivo sin restricción alguna). 

Dom f(x) = R      o también puede expresarse Dom  f(x) = (– ∞ , + ∞ )

Rango de la función

El Rango será también todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre. 

Rango = (– ∞ , + ∞ ) 

FUNCION CUADRATICA

EJERCICIO 2 : Determinar Dominio y Rango de f(x) = x2 - 2x – 3
Tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano:
  

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

                          

Como podemos ver, la gráfica es una parábola. Este tipo de función se conoce como cuadrática y representa a los polinomios de grado 2. 


Dominio de la función
Como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales (siempre tomará valores tanto negativos como positivos en el eje x). 

Dom f(x) = R 

Rango de la función

Note cómo la gráfica empieza a tomar valores en el eje y sólo a partir de un punto determinado. ¨Por lo tanto, en este caso, el rango ya no serán todos los reales. 

Para hallar el Rango, debemos determinar a partir de qué punto la función empieza a tomar valores en el eje y.Esto ocurre en el vértice de la función. 

El vértice  de una función cuadrática se define como (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplazando valores tenemos que -b /2a = (-(-2) / 2(1)) = 1.  Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(1) = 12 - 2(1) – 3 = 1- 2 - 3 = - 4

Por lo tanto, el vértice está en el punto (1, - 4).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4. 

Rango = [– 4 , + ∞ ) 

* El paréntesis cerrado [ o ] significa que el valor está incluido en el intervalo.
* El paréntesis abierto ( o ]) significa que el valor no está incluido en el intervalo.

EJERCICIO 3: Determinar Dominio y Rango de  f(x) = – x2 + 5x - 4

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

                  

Dominio de la función

Todos los reales. 

Dom f(x) = R 

Rango de la función

Ahora hallemos el Rango, entonces,  determinemos en qué punto se encuentra el vértice de la función. 
El vértice  está en (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplanzando valores tenemos que -b /2a =( - 5 / 2(-1)) = 5/2 (o 2,5).  Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(5/2) = -(5/2)2 + 5(5/2) – 4 = -25/4 + 25/2 - 4 = 9/4 = 2,25

Por lo tanto, el vértice está en el punto (2.5;  2,25).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) desde menos infinito y llega hasta el vértice de la parábola (hasta Y = 2,25). 

Rango = [– ∞ , 2.25  )